Disciplinas do Programa

Disciplinas do Programa de Pós-graduação em Matemática

 

Lista de Disciplinas do Programa de

Pós-graduação em Matemática - UFABC

 

1-Disciplinas Obrigatórias do Mestrado
Disciplina MAT-121 Análise no Rⁿ
Nível Mestrado
Créditos 18
Ementa Topologia dos Espaços Cartesianos. Teorema de Bolzado-Weierstrass. Teoremas de Heine-Borel e Baire. Continuidade, propriedades locais e globais. Derivadas parciais, direcionais e de ordem superior. Diferencial, gradiente e regra da cadeia. Teorema de Schwarz. Fórmula de Taylor. Contrações. Teoremas da função inversa, da função implícita e do posto. Integração de Riemann-Stieltjes. Formas diferenciais de ordem 1. Integral de uma forma ao longo de um caminho. Formas exatas e fechadas. Superfícies diferenciáveis. Espaço vetorial tangente. Superfícies orientáveis. Multiplicadores de Lagrange. Aplicações diferenciáveis. Introdução às variedades. Integrais múltiplas (conjuntos de medida nula e de conteído nulo, teorema de Fubini, partições da unidade, mudança de variáveis). Formas diferenciais.
Bibliografia • Munkres J. R., Analysis on Manifolds, 1st edition, Westview Press, 1997.
• Lima E. L., Curso de Análise vol. 2, 8a. edição, IMPA, 2005.
• Spivak M., Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus, 1st edition, HarperCollins Publishers, 1965.
• Bartle R. G., The elements of real analysis, Wiley, 1964.
Área Análise (MAT-X2Z)
Disciplina MAT-160 Topologia Geral
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Espaços topológicos, subespaços. Funções contínuas, homeomorfismos.
Topologia produto, espaço quociente. Axiomas de enumeralidade. Axiomas de separação. Lema de Urysohn. Teorema de Extensão de Tietze. Teorema da Metrização de Urysohn. Conexidade e conexidade por caminhos. Compacidade. Espaços métricos compactos. Espaços métricos completos. Espaços de Baire.
Bibliografia • Munkres J. R., Topology, Prentice-Hall, 2nd ed, 1999.
• Willard S., General Topology, Dover Books on Mathematics, 1st ed, 2004.
• Kelley J. L., General Topology, Springer-Verlag, 1st ed, 1991.
• Simons G. F., Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963.
• Singer I. M. & Thorpe J.A., Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Springer, 1st ed, 1967. • Bredon G. E., Topology and Geometry, Springer, 1993.
Área Geometria e Topologia (MAT-X6Z)
Disciplina MAT-112 Álgebra Linear e Multilinear
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Espaços vetoriais e subespaços vetoriais. Base e dimensão. Transformações lineares, isomorfismo, representação de transformações lineares por matrizes. Soma direta. Espaço dual e funcionais lineares. Espaços quocientes. Subespaços invariantes, decomposições em soma direta, Teorema da Decomposição Primária. Forma canônica de Jordan. Produto interno, adjunta, operadores unitários, normais e auto-adjuntos. Formas Bilineares e Formas Quadráticas. Produto Tensorial entre Espaços Vetoriais e Isomorfismos Canônicos. Álgebra Exterior e de Grassmann.
Bibliografia • Hoffman K. & Kunze R., Linear Algebra, Prentice-Hall, New Jersey 1971.
• Kostrikin A. I. & Manin Y. I., Linear Algebra and Geometry, Gordon and Breach, New York 1981.
• Lima E. L., Álgebra Linear, Coleção Matemática Universitária, Rio de Janeiro 2005.
• Lima E. L., Álgebra Exterior, Coleção Matemática Universitária, Rio de Janeiro 2005.
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-311 Seminários do Programa de Matemática I
Nível Mestrado
Créditos 1
Ementa Seminários com temas relacionados às áreas de pesquisa desenvolvidas no programa.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-312 Seminários do Programa de Matemática II
Nível Mestrado
Créditos 1
Ementa Seminários com temas relacionados às áreas de pesquisa desenvolvidas no programa.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-313 Seminários do Programa de Matemática III
Nível Mestrado
Créditos 1
Ementa Seminários com temas relacionados às áreas de pesquisa desenvolvidas no programa.
Bibliografia A definir.
2-Disciplinas Obrigatórias do Doutorado  
2.1-Obrigatórias para todos os alunos  
Disciplina MAT-220 Análise Funcional
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Espaços lineares: espaços normados, compacidade, espaços de Banach. Espaços de Hilbert: pré-Hilbert, teorema da representação de Riesz, aproximação, problemas de norma mínima, mínimos quadrados. Espaços duais: funcionais lineares, teorema de Hahn-Banach. Operadores lineares e adjuntos: teoremas da limitação uniforme, da aplicação aberta e do gráfico fechado. Teorema do ponto fixo de Banach e suas aplicações. Cálculo em Espaços de Banach: derivadas de Gateaux e Fréchet. Otimização de funcionais.
Bibliografia • Kreyszig E., Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1st edition, 1989.
• de Oliveira, C. R., Introdução à Análise Funcional, IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
• Luenberger D. G., Optimization by Vector Space Methods, Wiley-Interscience, 1st edition, 1997.
• Reed M. & Simon B., Methods of Modern Mathematical Physics, vol. I, New York, Academic Press, 1972.
• Lax P., Functional Analysis, Wiley-Interscience, 1st edition, 2002.
• Conway J. B., A Course in Functional Analysis, Springer, 2nd, 1994.
Área Análise (MAT-X2Z)
Disciplina MAT-314 Seminários do Programa de Matemática IV
Nível Doutorado
Créditos 1
Ementa Seminários com temas relacionados às áreas de pesquisa desenvolvidas no programa.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-315 Seminários do Programa de Matemática V
Nível Doutorado
Créditos 1
Ementa Seminários com temas relacionados às áreas de pesquisa desenvolvidas no programa.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-316 Seminários do Programa de Matemática VI
Nível Doutorado
Créditos 1
Ementa Seminários com temas relacionados às áreas de pesquisa desenvolvidas no programa.
Bibliografia A definir.
   
2.2-Disciplinas semi-obrigatórias (o aluno deve obrigatoriamente cursar uma delas a sua escolha)  
Disciplina MAT-211 Álgebra I
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Categorias e functores. As categorias R-mod e mod-R. Módulos artinianos e noetherianos. Produtos tensoriais. Functor Hom. Módulos projetivos, injetivos e planos. Contexto de Morita. O teorema de Artin-Wedderburn. O radical de Jacobson de anéis e módulos. O lema de Nakayama. Álgebra comutativa - ideiais primos, nilradical. Localização de anéis e módulos. Relações locais-globais. Espectro primo de um anel comutativo. Dependência integral. Anéis artinianos e noetherianos comutativos. Teorema de base de Hilbert e o Nullstellensatz.
Bibliografia •Jacobson N., Basic Algebra, vol. II, W. H. Freeman, San Francisco, 1980 (second edition: New York, 1989).
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-213 Álgebras de Lie
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Álgebras solúveis e nilpotentes, teoremas de Engel e Lie. Forma de Cartan-Killing e critério de Cartan. Cohomologia, lemas de Whitehead, teorema da decomposição de Weyl e Levi. Subálgebras de Cartan, sistemas de raízes e classificação das álgebras semi-simples. Álgebras de Lie excepcionais.
Bibliografia • San Martin L., Álgebras de Lie, Ed. Unicamp, 1999.
• Gilmore R., Lie Groups, Lie Algebra and Some of Their Applications, 2006.
• Humphreys J. E., Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1972.
• Jacobson N., Lie Algebras, Dover, 1979.
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-266 Variedades Diferenciáveis
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Variedades diferenciáveis; vetores tangentes e diferenciais; fibrados tangente e cotangente; aplicações diferenciáveis: difeomorfismos, submersões, imersões e mergulhos; subvariedades; fibrados vetoriais; distribuições e o Teorema de Frobenius; campos tensoriais e formas diferenciais; a derivada de Lie.
Bibliografia • Warner F., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups (Chapters 1,2), Scott, Foresman & Co., Glenview 1971 & Springer-Verlag, Berlin 1983.
• Lang S., Differential Manifolds, Addison-Wesley, Reading 1972 & Springer-Verlag, Berlin 1985.
• Boothby W. M., An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, 2002.
• Abraham R. & Marsden J. E., Foundations of Mechanics (Chapter 2), Benjamin/Cummings Reading 1978.
• Kobayashi S. & Nomizu K., Foundations of Differential Geometry, Vol I, (Chapter 1), Wiley-Interscience, 1996.
• Lima E.L., Variedades diferenciáveis, Rio de Janeiro, 1977.
Área Geometria e Topologia (MAT-X6Z)
Disciplina MAT-241 Teoria de Gauge e Fibrados
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Espaços topológicos e variedades. Campos vetoriais, fluxos e colchete de Lie. Formas diferenciais, derivada exterior; cohomologia de de Rham e aplicações do princípio de gauge no eletromagnetismo. Transformações de gauge, efeito Aharonov-Bohm. Wormholes e monopólos. Campos de gauge não-abelianos, simetrias e grupos de Lie; formalismo de representações de SU(2). Representações adjunta e fundamental. Algebras de Lie. Fibrados, conexões e grupos de gauge. Multipletos e isospin; holonomia. Equações de Yang-Mills e curvatura.
Bibliografia • Baez J. & Muniain J. P., Gauge fields, knots and gravity, Series on Knots and Everything, vol.IV, World Scientific 1994. • Nakahara M., Geometry, Topology and Physics, IoP Publishing, Londres 2004.
•Szekeres P., A Course in Modern Mathematical Physics: Groups, Hilbert Space and Differential Geometry, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2004.
•Rubakov V. & Wilson S. S., Classical Theory of Gauge Fields, Princeton Univ. Press, Princeton 2006.
•Ryder L. H., Quantum Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.
Área  
   
3-Demais disciplinas do Mestrado  
Disciplina MAT-113 Introdução à Teoria de Grupos
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Grupos, definição e exemplos: grupos simétricos, grupos dihedrais, grupos de matrizes. Subgrupos e Teorema de Lagrange. Subgrupos normais, Homomorfismos e grupos quociente. Teoremas de isomorfismo. O grupo alternado. A simplicidade de An. Ação de um grupo sobre um conjunto. Equação das classes. Teoremas de Sylow. Grupos cíclicos e grupos abelianos os. Comutadores. Grupos solúveis.
Bibliografia • Robinson D. J. S., A course in the Theory of Groups, Springer, New York, 1982.
• Rotman J. J., An introduction to the Theory of Groups, Springer, New York,1994.
• Scott W.R., Group Theory, Dover, New York, 1964.
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-114 Representação de Grupos Finitos
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Representações de grupos. Álgebras de grupos. Representações e módulos. Teorema de Maschke. Lema de Schur. Representações irredutíveis e completamente redutíveis. Caracteres de grupos. Relações de ortogonalidade e tábua de caracteres. O Teorema paqb de Burnside. Caracteres induzidos. Teorema de reciprocidade de Frobenius. Representações induzidas.
Bibliografia • Curtis C. & Reiner I., Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Wiley-Interscience, New York, 1962.
• James G. & Liebeck M., Representations and Caracteres of Groups, Cambridge Mathematical Textbooks, Cambridge University Press, 2001.
• Dornhoff L., Group Representation Theory, Marcel Dekker, New York, 1971. M. Isaacs, Character theory of finite groups, Academic Press, New York, 1976.
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-122 Equações Diferenciais Ordinárias com Aplicações
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Teoremas de Existência e Unicidade; Teoremas de continuidade e Diferenciabilidade em relação às condições iniciais e parâmetros; Equações Lineares: Propriedades, Equações lineares com coeficientes constantes, Sistemas bidimensionais simples, Conjugação de sistemas lineares, Classificação topológica dos sistemas lineares hiperbólicos; Teoria Qualitativa: Campos vetoriais e fluxos, Diferenciabilidade dos fluxos, retrato de fase de um campo vetorial, equivalência e conjugação, Estrutura local dos pontos singulares hiperbólicos (Teorema de Hartman-Grobman), Estrutura local de órbitas periódicas; Teorema de Poincaré-Bendixson; Função de Lyapunov-Estabilidade; Modelos de Interação Populacional (Lotka-Volterra, Presa-predador); Modelos populacionais discretos.
Bibliografia • Sotomayor J., Lições de EDO. Priojeto Euclides. 1979
• Murray J.D., Mathematical Biology. Springer-Verlag. 1993.
• Doering C.I. & Lopes A.O., Equações Diferenciais Ordinárias, IMPA, 2005.
Área Análise (MAT-X2Z)
Disciplina MAT-123 Funções de uma Variável Complexa
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Revisão de números complexos. Funções complexas: limite, continuidade, derivação, condições de Cauchy-Riemann, funções harmônicas. Zeros de uma função analítica. O Teorema dos zeros isolados. Analiticidade. Os Teoremas da Aplicação Aberta, do Módulo Máximo e Fundamental da Álgebra. A Estimativa de Cauchy, os Teorema de Liouville, Morera e Goursat. Integral Complexa. Definição e exemplos. Fórmula Integral de Cauchy e consequências. O Teorema de Cauchy Homológico e o Teorema de Cauchy Homotópico. Singularidades: classificação. Séries de Laurent. Funções Meromorfas. Teorema da contagem de zeros. Cálculo de integrais pelo método dos resíduos. Transformações de Moebius e suas Propriedades. Teorema da Aplicação de Riemann.
Bibliografia • Lins Neto A., Funções de Uma variável Complexa, Projeto Euclides, IMPA, 1996.
• Ahlfors L. V., Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable. 3 ed. New York: McGraw-Hill, 1979.
• Conway J. B., Function of one complex variable, Springer-Verlag 1986.
• Bak J. & Newman D.J., Complex Analysis, Springer-Verlag 1982.
Área Análise (MAT-X2Z)
Disciplina MAT-131 Biomatemática I
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Equações de diferenças aplicadas à dinâmica populacional; Estabilidade das equações de diferenças; Modelos de Nicholson-Bailey; Processos contínuos em modelos biológicos (EDO); Modelos de interação entre espécies; Modelos epidemiológicos. Dinâmica de doenças infeciosas. Estabilidade e linearização.
Bibliografia • Edelstein-Keshet L., Mathematical Models in Biology; Birkhauser Math. Series, 1987.
• Murray J.D., Mathematical Biology; Biomathematics texts 19, Springer-Verlag, 1989.
Área Biomatemática (MAT-X3Z)
Disciplina MAT-141 Mecânica Analítica
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Princípio Variacional, Equações de Euler-Lagrange, Sistemas com Vínculos, Corpos Rígidos, Mecânica Hamiltoniana, Equações de Hamilton-Jacobi, Estrutura Simplética do Espaço de Fase, Transformações Canônicas, Sistemas Integráveis, Teoria de Perturbação, Teorema KAM, Tópicos Especiais.
Bibliografia • Fasano A. & Marmi S., Analytical Mechanics: An introduction, Oxford, 2006.
• Arnold V.I., Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag, 1978.
• Abraham R. & Marsden J.E., Foundations of Mechanics, Benjamim, 1978.
Área Física-Matemática (MAT-X4Z)
Disciplina MAT-151 Lógica Matemática
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Desenvolvimento do cálculo de predicados de primeira ordem, com teoria da prova e o teorema da completude. Teorema da compacidade e aplicações. Funções recursivas, a aritmética de Peano e o teorema da incompletude. Álgebras de Boole, filtros e ultrafiltros, dualidade de Stone.
Bibliografia • Mendelson E., Introduction to Mathematical Logic, CRC, 2009.
• Shoenfield J. R., Mathematical Logic, Addison-Wesley, 2001.
• Bell J. & Slomson A., Models and Ultraproducts: an Introduction, Dover, 2006.
Área Fundamentos (MAT-X5Z)
Disciplina MAT-161 Geometria Diferencial
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Estudo local das curvas no R^3. Estudo local das superfícies no R^3.
Formas quadráticas fundamentais e aplicações: métrica, ângulo,
área de superfície, linhas assintóticas e linhas de curvatura.
Curvatura de uma superfície. Teorema Egregium de Gauss.
Paralelismo, derivação covariante. Geodésica.
Teorema de Gauss-Bonnet (formulação) e consequências.
Bibliografia • DO CARMO M. P., Differential Geometry of Curves and Surfaces, EUA: Englewood'Cliffs, Prentice-Hall.
• O'NEILL B., Elementary differential geometry. 2 ed., Amsterdam: Elsevier, 2006.
• TENENBLAT K., Introdução à geometria diferencial. 2 ed. São Paulo: Edgar Blucher, 2008.
• DUBROVIN B. A., FOMENKO A.T. & NOVIKOV S.P., Modern geometry- methods and applications: part III: introduction to homology theory. New York: Springer, c1990. v. 3. 416 p. (Graduate texts in mathematics, 124).
• KÜHNEL W., Differential geometry: curves, surfaces and manifolds. 2.ed. Wiesbaden.
• KREYSZIG E., Differential geometry. Toronto, Toronto Press, 1959.
• PRESSLEY, Andrew. Elementary differential geometry. London: Springer, 2001.
Área Geometria e Topologia (MAT-X6Z)
Disciplina MAT-162 Introdução à Topologia Algébrica
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Homotopia: grupo fundamental e espaços de recobrimento. Homologia: complexo de cadeias, homologia singular, sequências exatas em homologia, excisão e Mayer Vietoris, Teorema de Hurewicz.
Bibliografia • Lima E. L., Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento, 2a. edição, IMPA, 1999.
• Vick J. W., Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology (Graduate Texts in Mathematics), Springer, 2nd ed, 1994.
• Rotman J. J., An Introduction to Algebraic Topology (Graduate Texts in Mathematics), Springer, 1988.
• Massey W. S., A basic course in algebraic topology, Springer, 1991. • Hatcher A., Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001. • Bredon G. E., Topology and Geometry, Springer, 1993.
Área Geometria e Topologia (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-171 Probabilidade I
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Espaços de Probabilidade: Medidas de Probabilidade, Variáveis Aleatórias; Integração, Esperança, Teoremas de Convergência; Medidas produto, Teorema de Fubini; Independência; Teorema da Extensão de Kolmogorov; Teorema de Radon-Nikodym, Distribuição e Esperança Condicionais. Leis dos Grandes Números: Modos de convergência; Lei Fraca dos Grandes Números; Lemas de Borel-Cantelli; Lei Forte dos Grandes Números. Teorema Central do Limite: Convergência em Distribuição; Funções Características; TCL para Variáveis Aleatórias I.I.D.; TCL para Arranjos Triangulares.
Bibliografia • Durret R., Probability: Theory and Examples, Duxbury Press, second Edition, 1996.
• Shiryaev A. N., Probability, Springer, Second edition, 1996.
• Chung K.L., A Course in Probability Theory, Academic Press, second Edition, 1974.
• Breiman L., Probability. Addison-Wesley (republicado por SIAM), 1968.
• Billingsley P., Probability and Measure. Wiley, third edition, 1995.
• Feller W., An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. I e vol. II, second Edition, Wiley, 1971.
• Lamperti J., Probability: A Survey of the Mathematical Theory, Benjamin, 1966.
Área Probabilidade (MAT-X7Z)
Disciplina MAT-172 Processos Estocásticos
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Introdução e Fundamentos. Construção de Cadeias de Markov. Recorrência e Transiência. Medidas Invariantes. Perda de Memória e convergência ao equilíbrio. Cadeias de Markov em tempo continuo: Processo de Poisson. Construção gráfica. Gerador Infinitesimal. Comportamento Assintótico: Medidas invariantes e convergência ao equilíbrio. Aplicação: Modelo do Votante Simples simétrico e Processos de Exclusão simples unidimensionais.
Bibliografia • Bhattacharya R. & Waymire E., Stochastic Processes with Applications, SIAM.
• Bremaud P., Markov Chains: Gibbs Fields, Monte Carlo Simulation, and Queues, Springer.
• Schinazi R., Classical and Spatial Stochastic Processes, Birkhäuser.
• Knill O., Probabilty Theory and Stochastic Processes with Applications. Overseas Press.
• Liggett T., Continuous Time Markov Processes. AMS.
• Norris J. R. & Markov Chains, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics.
• Billingsley P., Probability and Measure, Third edition, Wiley, 1995.
• Shiryaev A. N., Probability, Second edition, Springer, 1996.
Área Probabilidade (MAT-X7Z)
Disciplina MAT-173 Inferência Estatística
Nível Mestrado
Créditos 12
Ementa Conceitos básicos: modelos estatísticos, estatísticas e distribuições amostrais, estimação, testes de hipóteses, modelos paramétricos, não paramétricos e semi-paramétricos e outros problemas da inferência clássica. Métodos de estimação: métodos de substituição, mínimos quadrados, máxima verossimilhança e aplicações. Intervalos de confiança: conceituação, interpretação e construção. Testes de hipóteses: o lema de Neyman-Pearson, hipóteses compostas, a função de poder, testes da razão de verossimilhança; p-valor. Testes para média e variância em populações normais: comparação de populações. Introdução a análise de regressão.
Bibliografia • Hoel P.G., Port S. & Stone C., Introduction to Statistical Theory, Houghton-Mifflin, 1971. • Schervish M.J., Theory of Statistics. Springer-Verlag, New York, 1997. • Casella G. & Berger R. L., Statistical Inference, 2nd edition, Duxbury Press, 2001. • Lehmann E.L., Testing Statistical Hypotheses, 2a edição, Wiley, New York, 1986.
Área Probabilidade (MAT-X7Z)
   
4-Demais disciplinas do Doutorado  
Disciplina MAT-212 Álgebras de Dimensão Finita
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Os primeiros passos: anéis de quatérnios, octônions e de números hyper-complexos. Anéis de quatérnios generalizados. Anéis com divisão finita. Álgebras cíclica. Ideais nilpotentes, o radical de Jacobson e o teorema de Wedderburn. Álgebras centrais simples. O Teorema de Skolem-Noether. Álgebras separáveis e corpos de decomposição. O Teorema de Frobenius. O Grupo de Brauer.
Bibliografia • Jacobson N., Basic Algebra, W. H. Freeman, vol. 2, San Francisco, 1980 (second edition: New York, 1989).
• Herstein I.N., Noncommutative rings, Carus Math. Monographs, 15, Math. Assoc. of America, 1968.
• Peirce R.S., Linear Associative Algebras, Springer, New York, 1982.
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-214 Corpos Finitos
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Revisão de conceitos básicos da teoria de corpos: extensões algébricas e transcendentes. Extensões finitas e extensões simples. Raízes de polinômios e corpos de decomposição. Extensões normais e separáveis, teorema do elemento primitivo. Grupo de Galois de uma extensão. O grupo multiplicativo de um corpo. Corpos finitos. Extensões e elementos primitivos. O algoritmo de Gauss. Subcorpos de um corpo finito. Polinômios irredutíveis sobre corpos finitos. Fórmula de inversão de Möbius. A ordem de um polinômio irredutível. Automorfismo de Frobenius. O grupo de Galois de uma extensão finita de um corpo finito. Polinômio característico. Normas e traços. Raízes da unidade. Polinômios ciclotômicos e irreducibilidade.
Bibliografia • Lidl R. & Niederreiter H., Finite Fields, Cambridge University Press, London, second edition, 1997.
• Wan Z. X., Finite fields and Galois rings, World Scientific, 2011.
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-221 Equações Diferenciais Parciais
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Equação do transporte, de Laplace, do Calor e da Onda. Soluções fundamentais. Teoremas de existência, unicidade e estimativas. Problemas não-homogêneos.
Bibliografia • Evans L., Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998.
• Gilbarg D. & Trudinger N.S., Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Spring Verlag, 1998.
• Fritz J., Partial Differential Equations, Spring Verlag, 1981.
• Figueiredo D. G., Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Publicação IMPA, Projeto Euclides, quarta edição, 2003.
Área Análise (MAT-X2Z)
Disciplina MAT-222 Teoria da Medida e Integração
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Espaços e funções mensuráveis. Espaços de medida. Integração. Interpretação probabilística. Os espaços Lp. Tipos de convergência; teoremas de Egorov e Luzin. Construção de medidas: medida exterior, teoremas de Caratheodory e Hahn, medidas de Borel e a medida de Lebesgue. Teorema de extensão de Kolmogorov. Decomposições: funções absolutamente contínuas e de variação limitada, a derivada de Radon-Nikodym, decomposições de Hahn e Lebesgue. Relação com a integral de Riemann. Teoremas de representação de Riesz. Medida produto: teorema de Fubini e medida de Lebesgue em espaços euclideanos.
Bibliografia • Bartle R. G., Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley & Sons, Inc., 1966.
• Schilling R. L., Measures, Integrals and Martingales, Cambridge University Press, 2005.
• Fremlin D. H., Measure Theory, Volume 1: The Irreducible Minimum, 2011.
• Fernandez P. J., Medida e Integração. IMPA, CNPq, 1976.
• Honig C. S., A integral de Lebesgue e suas Aplicações. IMPA, 1977. Royden, H. L. - Real Analysis. 3a ed., Prentice Hall, 1988.
• Rudin W., Real e Complex Analysis. 3a ed., McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1986.
• Zygmund A., Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. CRC Press, 1977.
• Kubrusly C. S., Measure Theory: A First Course. Academic Press, 2006.
Área Análise (MAT-X2Z)
Disciplina MAT-231 Biomatemática II
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa EDP em processos biológicos; Advecção, convecção, taxia e difusão; Equações de reação-difusão; Invasão de espécies. Dispersão e iteração populacionais; ondas viajantes; modelos epidemiológicos para populações estruturadas; estratégias de controle epidemiológico. Dispersão geográfica de doenças.
Bibliografia • Edelstein-Keshet L., Mathematical Models in Biology, Birkhauser Math. Series, 1987.
• Murray J.D., Mathematical Biology, Biomathematics texts 19, Springer.
Área Biomatemática (MAT-X3Z)
Disciplina MAT-242 Métodos Matemáticos em Relatividade Geral
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Métrica, curvatura, curvatura escalar. Espaços de Einstein. Vetores de Killing e isometrias. Espaços simétricos maximais. Exemplos de variedades de Einstein. Estrutura global: diagramas de Carter-Penrose, horizontes, singularidades. Teorema de Birkhoff e outros teoremas de unicidade.
Bibliografia • Wald R. M., General Relativity, Univ. of Chicago Press, 1984.
• Carroll S. M., An Introduction to General Relativity Spacetime and Geometry, Addison-Wesley, 2004.
• Foster J. & Nightngale J. D., A Short Course in General Relativity, Springer, 2006.
• Townsend P. K., Black Holes, arXiv:gr-qc/9707012.
Área Física-Matemática (MAT-X4Z)
Disciplina MAT-243 Métodos Matemáticos em Teoria de Campos
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Quantização dos campos de Klein-Gordon, Dirac e Eletromagnético. Propagadores. Interações: a representação de interação, expansão da Matriz S e o teorema de Wick, teoria de perturbações. Eletrodinâmica quântica: Alguns processos elementares e os diagramas de Feynman, correçoes radiativas e renormalizaçao. Regularizaçao. Quebra espontânea de simetria, os modelos de Higgs e Goldstone, a interação eletrofraca. Quantização de teorias de Gauge.
Bibliografia • Ticciati R., Quantum Field Theory for Mathematicians, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 72, Cambridge Univ. Press, Cambridge 1999.
• Mandl F. & Shaw G., Quantum Field Theory, Wiley, 1984.
• Fursaev, D. & Vassilevich, D. Operators, geometry and quanta, Springer, 2011.
• Bjorken J. D. & Drell S. D., Relativistic Quantum Fields, McGraw-Hill, 1965.
• Itzykson C. & Zuber J.B., Quantum Field Theory, McGraw-Hill, 1980.
Área Física-Matemática (MAT-X4Z)
Disciplina MAT-251 Teoria Descritiva dos Conjuntos
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Espaços poloneses. Hierarquia dos conjuntos borelianos. Conjuntos analíticos e coanalíticos. Teoremas de seleção e uniformização.
Bibliografia • Srivastava S. M., A Course on Borel Sets, Springer, 1998.
• Kechris A. S., Classical Descriptive Set Theory, Springer, 1995. • Moschovakis Y., Descriptive Set Theory, North-Holland, 1980.
Área Fundamentos (MAT-X5Z)
Disciplina MAT-252 Teoria Axiomática dos Conjuntos
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Conceito de conjunto e paradoxos da teoria ingênua. Formulação axiomática de Zermelo e Fraenkel com escolha. Boas ordens, ordinais e aplicações de indução e recursão transfinitas. Cardinais, a hipótese do contínuo. Cofinalidade. As classes V e L, modelos, colapso de Mostowski e absolutismo. "Forcing", consistência e independência da hipótese do contínuo. Axiomas adicionais de uso contemporâneo.
Bibliografia • Kunen K., Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, 2006.
• Jech T., Set Theory, Springer, 2006.
• Ciesielski K., Set Theory for the Working Mathematician, CUP, 1997. • Miraglia F., Teoria dos Conjuntos: Um Mínimo, Edusp, 1991.
Área Fundamentos (MAT-X5Z)
Disciplina MAT-253 Teoria dos Modelos
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Eliminação de quantificadores. Funções de Skolem definíveis. Argumentos usando ultraprodutos, compacidade, uniões de cadeia, Löwenheim-Skolem e omissão de tipos. Teorias categóricas e o teorema de Morley. Modelos saturados. Sequências indiscerníveis. Estabilidade. Aplicações às teorias fundamentais da matemática: corpos algebricamente fechados, real-fechados, ou a critério do ministrante.
Bibliografia • Marker D., Model Theory: an Introduction, Springer, 2010.
• Poizat B., A Course in Model Theory, Springer, 2012.
• Chang C. C. & Keisler H. J., Model Theory, Dover, 2012.
• Hodges W., Model Theory, CUP, 2008.
Área Fundamentos (MAT-X5Z)
Disciplina MAT-254 Topologia Conjuntista
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Ordinais como espaços topológicos. Funções cardinais. Redes e filtros. Compactificação de Stone-Cech. Espaços pseudocompactos, enumeravelmente compactos e sequencialmente compactos. Paracompacidade. Teoremas de Metrização. Espaços de Funções. Usos da Hipótese do Contínuo e do Axioma de Martin em Topologia.
Bibliografia • Engelking R., General Topology, Heldermann, 1989. • Willard S., General Topology, Dover, 2004;
• Kunen K., Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, 2006.
• Juhász I., Cardinal Functions in Topology: Ten Years Later, Mathematisch Centrum, 1980.
• Walker R. C., The Stone-Cech Compatification, Springer-Verlag, 1974.
• Rudin M. E., Lectures on Set Theoretic Topology, American Mathematical Society, 1975.
• Kunen K. & J. E. Vaughan (eds.), Handbook of Set-Theoretic Topology, North-Holland, 1988.
Área Fundamentos (MAT-X5Z)
Disciplina MAT-261 Geometria Riemanniana
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Variedades e métricas Riemannianas. Conexão e curvatura. Geodésicas e aplicação exponencial. Campos de Jacobi e pontos conjugados. Variedades completas e o teorema de Hopf-Rinow. Teorema de Hadamard; Tópicos especiais: Imersões isométricas e equações de Gauss, Codazzi e Ricci.
Bibliografia • do Carmo M. P., Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, 10, IMPA, Rio de Janeiro, 1979. • Bishop R. & Crittenden R.J., Geometry of manifolds, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2001.
• Gallot S., Hulin D. & Lafontaine J., Riemannian geometry, third edition, Universitext.
• O'Neill B., Semi-Riemannian Geometry (with applications to Relativity), Academic Press, 1983.
• Jost J., Riemannian geometry and geometric analysis, fifth edition, Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2008.
• Petersen, P., Riemannian geometry, Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 171, Springer, New York, 2006.
• Palais R. & Terng C.L., Critical point theory and submanifold geometry. Lecture Notes in Mathematics, 1353. Springer-Verlag, Berlin, 1988.
Área Topologia e Geometria (MAT-X6Z)
Disciplina MAT-264 Topologia Algébrica
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Homologia: Homologia simplicial; homologia singular;
CW-complexos e homologia celular; sequências exatas e homologia reduzida. Cohomologia:dualidade Poincaré. Teorema dos coeficientes universais; Produtos; Teorema de Hurewicz. Teorema de Whitehead.
Bibliografia • Rotman J. J., An Introduction to Algebraic Topology, Graduate Texts in Mathematics, Springer, 1988.
• Munkres J. R., Elements Of Algebraic Topology, Addinson Wesley Publishing company, 1984 ou Westview Press, 1996.
• Hatcher A., Algebraic Topology, Cambrige University Press, 2002.
• Bredon G. E. Topology and Geometry, Springer, 1993.
• Spanier E.H., Algebraic Topology, Springer, 1991.
Área Topologia e Geometria (MAT-X6Z)
Disciplina MAT-265 Topologia Diferencial
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Funções de Morse. Variedades com bordo. Transversalidade. Índices. Teorema da separação de Jordan. Teorema de Borsuk-Ulam. Orientação. Teorema do ponto fixo de Lefschetz. Campos de Vetores e Teorema de Poincaré Hopf. Teorema do grau de Hopf.
Bibliografia • Guillemin V. & Pollack A., Differential Topology, AMS, 2010.
• Hirsch M., Differential topology. Graduate Texts in Mathematics, vol. 33, Springer-Verlag, New York, 1994.
• Milnor J. W., Topology from the differentiable viewpoint, Princeton University Press, 1997.
• Lima E. L., Introdução à Topologia Diferencial, IMPA, Rio de Janeiro, 2005.
• Mukherjee A., Topics in differential topology, Hindustan Book Agency, Nova Delhi, Índia, 2005.
• Munkres J. R., Elementary differential topology, Princeton University Press, Princeton, 1966.
Área Topologia e Geometria (MAT-X6Z)
Disciplina MAT-271 Probabilidade II
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Martingais: Convergência Quase-Certa, Desigualdade de Doob, Convergência em Lp, Integrabilidade Uniforme, Convergência em L1, Teorema da Parada Ótima. Processos Estacionários e Teorema Ergódico de Birkhoff. Movimento Browniano: Construção, Propriedade de Markov, Princípio da Reflexão, Tempos de Passagem, Propriedades das Trajetórias. Teorema de Donsker. Integração Estocástica: Construção da Integral Estocástica, Fórmula de Itô, Teorema da Girsanov.
Bibliografia • Durret R., Probability: Theory and Examples, Second Edition, Duxbury Press, 1996.
• Shiryaev A. N., Probability, Second edition, Springer, 1996.
• Chung K.L., A Course in Probability Theory, Second Edition, Academic Press, 1974.
• Breiman L., Probability, Addison-Wesley, 1968 (republicado por SIAM).
• Billingsley P., Probability and Measure, Third edition, Wiley, 1995.
• Feller W., An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol. I e Vol. II, Second Edition, Wiley, 1971.
• Lamperti J., Probability: A Survey of the Mathematical Theory, Benjamin, 1966.
• Oksendal B. K., Stochastic Differential Equations: An Introduction With Applications Springer, 1998.
• Karatzas I. & Shreve S.E., Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer, 1988.
• Durrett R. & Pinsky M., Stochastic Calculus: A Practical Introduction, CRC Press, 1996.
Área Probabilidade (MAT-X7Z)
Disciplina MAT-281 Sistemas Dinâmicos
Nível Doutorado
Créditos 12
Ementa Introdução a sistemas dinâmicos discretos (mapa logístico); Difeomorfismos e Fluxos: Introdução, difeomorfismos do círculo, Fluxos e equações diferenciais, conjuntos invariantes, conjugação e equivalência, aplicação de Poincaré e suspensão, fluxos Hamiltonianos e aplicação de Poincaré; Estudo local de fluxos e difeomorfismos: difeomorfismos e fluxos lineares hiperbólicos, pontos fixos hiperbólicos não-lineares
(Teorema de Hartman-Grobman), formas normais para campos e difeos, teorema da variedade central, técnicas de blowing-up em R2; dinâmica simbólica, ferradura de Smale.
Bibliografia • Arrowsmith D.K. & Place C.M., An introduction to Dynamical Systems, Cambrige University Press, 1994.
• Wiggins S., Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer, 1990.
• Guckenheimer J. & Holmes P., Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcation of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences 42, Springer-Verlag, 1993.
Área Sistemas Dinâmicos (MAT-X8Z)
Disciplina MAT-506 Estágio docência II
Nível Doutorado
Créditos 2
Obs Obrigatório para bolsistas Capes
   
6-Disciplinas do Mestrado e Doutorado  
Disciplina MAT-215 Tópicos em Álgebra I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo da Álgebra.
Bibliografia A definir.
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-216 Tópicos em Álgebra II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo da Álgebra.
Bibliografia A definir.
Área Álgebra (MAT-X1Z)
Disciplina MAT-223 Tópicos em Análise I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Análise.
Bibliografia A definir.
Área Análise (MAT-X2Z)
Disciplina MAT-224 Tópicos em Análise II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo da Análise.
Bibliografia A definir.
Área Análise (MAT-X2Z)
Disciplina MAT-232 Tópicos em Biomatemática I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo da Biomatemática.
Bibliografia A definir.
Área Biomatemática (MAT-X3Z)
Disciplina MAT-233 Tópicos em Biomatemática II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo da Biomatemática.
Bibliografia A definir.
Área Biomatemática (MAT-X3Z)
Disciplina MAT-246 Tópicos em Física-Matemática I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo da Física-Matemática.
Bibliografia A definir.
Área Física-Matemática (MAT-X4Z)
Disciplina MAT-247 Tópicos em Física-Matemática II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo da Física-Matemática.
Bibliografia A definir.
Área Física-Matemática (MAT-X4Z)
Disciplina MAT-255 Tópicos em Fundamentos I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Fundamentos.
Bibliografia A definir.
Área Fundamentos (MAT-X5Z)
Disciplina MAT-256 Tópicos em Fundamentos II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Fundamentos.
Bibliografia A definir.
Área Fundamentos (MAT-X5Z)
Disciplina MAT-262 Tópicos em Geometria e Topologia I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Geometria e Topologia.
Bibliografia A definir.
Área Topologia e Geometria (MAT-X6Z)
Disciplina MAT-263 Tópicos em Geometria e Topologia II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Geometria e Topologia.
Bibliografia A definir.
Área Topologia e Geometria (MAT-X6Z)
Disciplina MAT-272 Tópicos em Probabilidade I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Probabilidade.
Bibliografia A definir.
Área Probabilidade (MAT-X7Z)
Disciplina MAT-273 Tópicos em Probabilidade II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Probabilidade.
Bibliografia A definir.
Área Sistemas Dinâmicos (MAT-X8Z)
Disciplina MAT-282 Tópicos em Sistemas Dinâmicos I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Sistemas Dinâmicos.
Bibliografia A definir.
Área Sistemas Dinâmicos (MAT-X8Z)
Disciplina MAT-283 Tópicos em Sistemas Dinâmicos II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 12
Ementa Os tópicos serão diretamente relacionados com várias áreas em desenvolvimento ativo de Sistemas Dinâmicos.
Bibliografia A definir.
Área Sistemas Dinâmicos (MAT-X8Z)
Disciplina MAT-507 Estudo Dirigido I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos T-P-I = 0-0-2
Ementa A ser definida pelo Professor.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-508 Estudo Dirigido II
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos T-P-I = 0-0-2
Ementa A ser definida pelo Professor.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-509 Estudo Dirigido III
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos T-P-I = 0-0-2
Ementa A ser definida pelo Professor.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-510 Estudo Dirigido IV
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos T-P-I = 0-0-2
Ementa A ser definida pelo Professor.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-511 Estudo Dirigido V
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos T-P-I = 0-0-2
Ementa A ser definida pelo Professor.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-512 Estudo Dirigido VI
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos T-P-I = 0-0-2
Ementa A ser definida pelo Professor.
Bibliografia A definir.
Disciplina MAT-505 Estágio docência I
Nível Mestrado e Doutorado
Créditos 2
Obs Obrigatório para bolsistas Capes