Variedades de Zoll (sem bordo) são aquelas em que todas as geodésicas são fechadas e têm o mesmo comprimento. Obviamente, as esferas redondas satisfazem essa propriedade, mas Funk e Guillemin descobriram uma maneira de construir famílas de esferas não redondas de Zoll, iniciando um novo campo de estudo. Introduzirei as variedades de Zoll com bordo, nas quais toda geodésica que começa ortogonal ao bordo retorna ao bordo com essa mesma propriedade. Apresentarei uma classificação completa de tais variedades, utilizando a determinação do índice de Morse de tais geodésicas e um pouco de Topologia Algébrica. Esse é um trabalho conjunto com Paolo Piccione e Roney Santos.

O passeio aleatório do elefante foi proposto em 2004 por SCHUTZ e TRIMPER como um passeio aleatório com memória ocorrendo em Z, cujo mecanismo básico é replicar o passado com uma probabilidade fixada p. O passeio aleatório dinâmico foi proposto em 2006 por GUILLOTIN-PLANTARD e SCHOTT e a ele está associado um sistema dinâmico e para cada órbita nesse espaço derivam as probabilidades de transição do passeio aleatório. Em 2020, COLETTI et al., introduzem uma modificação de ambos os passeios aleatórios incorporando nas probabilidades de transição uma combinação linear convexa de ambos os passeios: o passeio aleatório do elefante dinâmico. Falaremos sobre alguns dos teoremas limite para este passeio.

We present an intrinsic framework to study the topology, differentiable structure, and Riemannian geometry of the Wasserstein space over a closed Riemannian manifold. Using this framework, we also provide a new proof that Wasserstein spaces of closed manifolds are geodesically convex. Our approach is particularly useful for dealing with a family of Wasserstein spaces– which includes, in particular, those associated with compact Lie groups– referred to as Parallelizable Wasserstein Spaces. Within this class, we refine our formalism and present its geometry more explicitly, exhibiting equations for the Lie brackets, Levi-Civita connections, geodesics, and curvature.

Apresentaremos uma breve introdução à singularidades em campos vetoriais contínuos por partes com o enfoque para o contato dobra – dobra hiperbólica no plano e no espaço com suas consequências para a teoria de sistemas dinâmicos. Focaremos na chamada singularidade Teixeira em cuja vizinhança pode-se observar um comportamento dinâmico muito rico.

O Modelo de Percolação de Bernoulli em um grafo associa, a cada uma de suas arestas, de forma independente, uma variável aleatória de Bernoulli de parâmetro \(p\) em \([0,1]\), que determina se a aresta é mantida ou removida, definindo um espaço de probabilidade sobre seus subgrafos. Na literatura podemos encontrar análises de algumas características topológicas desse modelo, como teoremas limite para o número de componentes conexas. Paralelamente, a Teoria de Homologia formaliza a noção intuitiva de “buracos” de diferentes dimensões em um espaço topológico. A conexão fundamental para nosso estudo é o fato de que a homologia de dimensão zero descreve precisamente as componentes conexas.

Neste seminário, portanto, objetiva-se apresentar a aplicação da Homologia Simplicial a grafos. Tal abordagem introduz um aparato teórico que generaliza o estudo de componentes conexas, possibilitando a análise de ciclos de dimensão superior no contexto de grafos aleatórios.

Define-se e estuda-se a noção de módulo cruzado sobre um semigrupo inverso e as sequências de quatro termos correspondente, chamadas extensões de módulos cruzados. Para um módulo cruzado \(A\) sobre um monoide \(F\)-inverso \(T\), mostra-se que classes de equivalência de extensões admissíveis de módulos cruzados de \(A\) por \(T\) estão em correspondência biunívoca com os elementos do terceiro grupo das cohomologias que preservam ordem \(H^3_{\le}(T^1,A^1)\).

Color Lie algebras, introduced in the 1960s, are natural generalizations
of Lie algebras and Lie superalgebras. Despite their long history, their
relevance to mathematical physics has only been recognized in recent
years. In this talk, we review various applications of color Lie
algebras in mathematical physics, highlighting their significance in
contemporary research. Particular emphasis is placed on examples from
noncommutative geometry, integrable systems, and knot theory.

Neste seminário, discutiremos os conceitos fundamentais dos reticulados vetoriais e dos reticulados de Banach. Serão apresentados alguns exemplos clássicos, bem como alguns resultados da teoria. O objetivo é oferecer uma visão introdutória e acessível sobre o tema, preparando o terreno para estudos mais aprofundados.

The classification of finite-dimensional semisimple Lie algebras in characteristic \(0\) represents one of the significant achievements in algebra during the first half of the 20th century. This classification was developed by Killing and by Cartan. According to the Killing–Cartan classification, the isomorphism classes of simple Lie algebras over an algebraically closed field of characteristic zero correspond one-to-one with irreducible root systems. In the infinite-dimensional case the situation is more complicated, and the so-called algebras of Cartan type appear. It is somewhat surprising that graded identities for Lie algebras have been relatively few results to that extent. In this presentation, we will discuss some of the results obtained thus far and introduce an algorithm capable of generating a basis for all graded identities in Lie algebras with Cartan gradings. Specifically, over any infinite field, we will apply this algorithm to establish a basis for all graded identities of \(U_1\), the Lie algebra of derivations of the algebra of Laurent polynomials \(K[t, t^{-1}]\), and demonstrate that they do not admit any finite basis. The findings discussed in this presentation are joint works with P. Koshlukov (UNICAMP).