O processo de contato com esterilidade herdada fornece uma modelagem probabilística para o estudo de estratégias de controle populacional inspiradas na Técnica de esterilização herdada. Diferentemente da esterilização completa, em que machos tratados perdem competitividade, o método de esterilidade herdada introduz apenas esterilidade parcial que é transmitida aos descendentes, permitindo que o efeito supressivo se propague ao longo das gerações. Para analisar esse modelo, e compará-lo com dinâmicas relacionadas, também introduzimos o processo Spont, outro exemplo de processo de contato em um ambiente dinâmico aleatório. Definimos as dinâmicas de ambos os processos na rede unidimensional dos inteiros. Em ambos os casos, nosso resultado principal é um teorema do limite central para a posição do sítio ocupado mais à direita. Os dois modelos apresentam desafios distintos — o processo Spont não possui auto-dualidade, enquanto o modelo com esterilidade herdada não é atrativo. Nossa abordagem combina uma construção por tempos de renovação com uma análise cuidadosa dos caminhos de infecção ativos, conduzindo a uma estrutura i.i.d. embutida para os incrementos da posição do sítio ocupado mais à direita.

Hysteresis naturally appears as a mechanism of self-organization and is often used in control theory. Important features of hysteresis operator are discontinuity and memory. We consider reaction-diffusion equations with hysteresis. Such equations describe processes in which diffusive and non-diffusive instances interact according to a hysteresis law. Due to the discontinuity of hysteresis, questions of well-posedness of such equations are highly non trivial.

For so-called transverse initial data it is possible to establish existence and uniqueness of the solution. Important part of the proof is the free boundary problem and fixed point theorem.

For non transverse initial data we consider a spatial discretization of the problem and present a new mechanism of pattern formation, which we call rattling. The profile of the solution forms two hills propagating with non-constant velocity. The profile of hysteresis forms a highly oscillating quasiperiodic pattern, which explains mechanism of illposedness of the original problem and suggests a possible regularization. Rattling is very robust and persists in arbitrary dimension and in systems acting on different time scales. We expect that it could be explained via Young measures – this is subject of future research.

Esta palestra apresenta uma visão geral de algumas linhas de pesquisa em matemática aplicada com foco em aplicações em pesquisa operacional. Serão introduzidos problemas clássicos de otimização de redes, como caminhos mínimos, fluxos máximos e cortes mínimos, apenas para contextualizar métodos e conceitos fundamentais. Em seguida, será feita uma breve menção a desafios presentes em redes ópticas, incluindo roteamento e alocação de recursos. A parte final da palestra terá maior ênfase na análise de confiabilidade de sistemas, abrangendo modelos binários e multestado, métodos exatos e técnicas aproximadas utilizadas na avaliação de redes de maior porte. O objetivo é oferecer aos alunos de pós-graduação uma visão clara do panorama geral da área, destacando os temas centrais que motivam pesquisas atuais e oportunidades de investigação.

Variedades de Zoll (sem bordo) são aquelas em que todas as geodésicas são fechadas e têm o mesmo comprimento. Obviamente, as esferas redondas satisfazem essa propriedade, mas Funk e Guillemin descobriram uma maneira de construir famílas de esferas não redondas de Zoll, iniciando um novo campo de estudo. Introduzirei as variedades de Zoll com bordo, nas quais toda geodésica que começa ortogonal ao bordo retorna ao bordo com essa mesma propriedade. Apresentarei uma classificação completa de tais variedades, utilizando a determinação do índice de Morse de tais geodésicas e um pouco de Topologia Algébrica. Esse é um trabalho conjunto com Paolo Piccione e Roney Santos.

O passeio aleatório do elefante foi proposto em 2004 por SCHUTZ e TRIMPER como um passeio aleatório com memória ocorrendo em Z, cujo mecanismo básico é replicar o passado com uma probabilidade fixada p. O passeio aleatório dinâmico foi proposto em 2006 por GUILLOTIN-PLANTARD e SCHOTT e a ele está associado um sistema dinâmico e para cada órbita nesse espaço derivam as probabilidades de transição do passeio aleatório. Em 2020, COLETTI et al., introduzem uma modificação de ambos os passeios aleatórios incorporando nas probabilidades de transição uma combinação linear convexa de ambos os passeios: o passeio aleatório do elefante dinâmico. Falaremos sobre alguns dos teoremas limite para este passeio.

We present an intrinsic framework to study the topology, differentiable structure, and Riemannian geometry of the Wasserstein space over a closed Riemannian manifold. Using this framework, we also provide a new proof that Wasserstein spaces of closed manifolds are geodesically convex. Our approach is particularly useful for dealing with a family of Wasserstein spaces– which includes, in particular, those associated with compact Lie groups– referred to as Parallelizable Wasserstein Spaces. Within this class, we refine our formalism and present its geometry more explicitly, exhibiting equations for the Lie brackets, Levi-Civita connections, geodesics, and curvature.

Apresentaremos uma breve introdução à singularidades em campos vetoriais contínuos por partes com o enfoque para o contato dobra – dobra hiperbólica no plano e no espaço com suas consequências para a teoria de sistemas dinâmicos. Focaremos na chamada singularidade Teixeira em cuja vizinhança pode-se observar um comportamento dinâmico muito rico.

O Modelo de Percolação de Bernoulli em um grafo associa, a cada uma de suas arestas, de forma independente, uma variável aleatória de Bernoulli de parâmetro \(p\) em \([0,1]\), que determina se a aresta é mantida ou removida, definindo um espaço de probabilidade sobre seus subgrafos. Na literatura podemos encontrar análises de algumas características topológicas desse modelo, como teoremas limite para o número de componentes conexas. Paralelamente, a Teoria de Homologia formaliza a noção intuitiva de “buracos” de diferentes dimensões em um espaço topológico. A conexão fundamental para nosso estudo é o fato de que a homologia de dimensão zero descreve precisamente as componentes conexas.

Neste seminário, portanto, objetiva-se apresentar a aplicação da Homologia Simplicial a grafos. Tal abordagem introduz um aparato teórico que generaliza o estudo de componentes conexas, possibilitando a análise de ciclos de dimensão superior no contexto de grafos aleatórios.

Define-se e estuda-se a noção de módulo cruzado sobre um semigrupo inverso e as sequências de quatro termos correspondente, chamadas extensões de módulos cruzados. Para um módulo cruzado \(A\) sobre um monoide \(F\)-inverso \(T\), mostra-se que classes de equivalência de extensões admissíveis de módulos cruzados de \(A\) por \(T\) estão em correspondência biunívoca com os elementos do terceiro grupo das cohomologias que preservam ordem \(H^3_{\le}(T^1,A^1)\).