Neste seminário, apresentaremos o cálculo diferencial de primeira ordem em espaços métricos de medida. De maneira específica, definiremos as noções de classes de Sobolev e de módulos normados, que permitem uma extensão funcional‑analítica dos objetos clássicos da teoria das variedades suaves para espaços métricos nos quais não se impõe nenhuma hipótese de suavidade sobre o ambiente.

Como aplicação destas definições gerais, mostraremos como as noções de módulo tangente e cotangente generalizam os conceitos de fibrado tangente e cotangente de uma variedade suave, respectivamente. Tais construções permitem abordar, no sentido fraco (ou “sintético”), problemas relacionados à curvatura de Ricci limitada inferiormente em espaços métricos — os quais surgem naturalmente como limites do caso suave, tanto na geometria métrica quanto na teoria geométrica da medida.

Os espaços em que faz sentido falar de curvatura de Ricci “sintética” são conhecidos na literatura como espaços RCD, e constituem objetos de intensa pesquisa atual. Se o tempo permitir, comentaremos também sobre alguns resultados recentes, como a prova da equivalência entre as noções sintética e clássica de curvatura fraca (via cálculo de distribuições), bem como sobre tentativas atuais de generalizar resultados de regularidade intrínsecos para esse contexto.

O Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (PBW) afirma que a álgebra graduada da envolvente universal de gl(n) e a álgebra de polinômios em n² variáveis comutativas são isomorfas, o que viabiliza usar a geometria algébrica para estudar as representações da álgebra de Lie gl(n). Por exemplo, considere a álgebra gerada pelos centros das envolventes universais de gl(1), gl(2),…, gl(n), cujos geradores foram dados por Zhelobenko (1973). A variedade algébrica associada aos polinômios correspondentes via o PBW, chamada Variedade de Gelfand-Tsetlin de gl(n), é equidimensional de dimensão (n² – n)/2, provado por Ovsienko (2003). O objetivo deste seminário é apresentar o resultado de Ovsienko e suas consequências na teoria de representações de álgebras de Lie.

This seminar aims to provide a brief introduction to fractional operators. It also discusses open questions in Fractional Calculus and the Theory of Partial Differential Equations.

A teoria de módulos de Gelfand–Tsetlin desempenha um papel central na teoria de representações de álgebras de Lie clássicas, oferecendo uma estrutura explícita e computacionalmente acessível para descrever representações, inclusive de dimensão infinita. Suas aplicações vão desde a construção efetiva de bases e cálculo de operadores em física
matemática até a modelagem de simetrias em sistemas integráveis e problemas espectrais.

Neste seminário, relembraremos resultados-chave da teoria clássica de representações da álgebra de Lie de sl(2), garantindo que tenhamos as
ferramentas e intuições necessárias. Com essa base estabelecida, exploraremos como os módulos de Gelfand–Tsetlin surgem nesse contexto.

Nessa apresentação faremos uma breve introdução aos espaços hiperbólicos complexos, em particular o plano hiperbólico complexo \(\mathbb{H}_{\mathbb{C}}^{2}\), discutindo sua geometria e a classificação de suas isometrias.

Também consideraremos a ação de subgrupos discretos do grupo de isometrias de \(\mathbb{H}_{\mathbb{C}}^{2}\), focando principalmente no exemplo dos grupos triangulares.

In his Ph.D. thesis Michal Szabados showed that every low pattern complexity configuration can be decomposed into a finite sum of
periodic configurations. For a not fully periodic configuration with a minimal periodic decomposition, that is, a periodic decomposition with the smallest possible number of periodic configurations, any nonexpansive line contains a period of some periodic configuration in the decomposition. Michal Szabados conjectured that the converse also holds. In this seminar, we will present recent advances related to Szabados’s conjecture as well as some minor progress on Nivat’s conjecture, a natural generalization of the Morse-Hedlund Theorem to the
two-dimensional case.