Resumo

Neste seminário, apresentaremos o cálculo diferencial de primeira ordem em espaços métricos de medida. De maneira específica, definiremos as noções de classes de Sobolev e de módulos normados, que permitem uma extensão funcional‑analítica dos objetos clássicos da teoria das variedades suaves para espaços métricos nos quais não se impõe nenhuma hipótese de suavidade sobre o ambiente.

Como aplicação destas definições gerais, mostraremos como as noções de módulo tangente e cotangente generalizam os conceitos de fibrado tangente e cotangente de uma variedade suave, respectivamente. Tais construções permitem abordar, no sentido fraco (ou “sintético”), problemas relacionados à curvatura de Ricci limitada inferiormente em espaços métricos — os quais surgem naturalmente como limites do caso suave, tanto na geometria métrica quanto na teoria geométrica da medida.

Os espaços em que faz sentido falar de curvatura de Ricci “sintética” são conhecidos na literatura como espaços RCD, e constituem objetos de intensa pesquisa atual. Se o tempo permitir, comentaremos também sobre alguns resultados recentes, como a prova da equivalência entre as noções sintética e clássica de curvatura fraca (via cálculo de distribuições), bem como sobre tentativas atuais de generalizar resultados de regularidade intrínsecos para esse contexto.